Cho a>0; b>0; c>0. Chứng minh bất đẳng thức
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a > 0; b > 0; c > 0
CM bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Cách 1. Áp dụng bđt Bunhiacopxki : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(\sqrt{a.\frac{1}{a}}+\sqrt{b.\frac{1}{b}}+\sqrt{c.\frac{1}{c}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Cách 2. Áp dụng bđt Cauchy :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)=> dpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
1. Cho a>0; b>0; c>0 . Chứng minh bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
2. Giải phương trình: \(y^2-2y+3=\frac{6}{x^2+2x+4}\)
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1, Cho a,b,c >0 Chứng minh \(\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{2}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ab}\)
a.Chứng Minh bất đẳng thức: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)\(\left(x,y>0\right)\)
b.Cho 3 số a,b,c dương
chứng minh:\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c,d là các số không âm
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Bài này có nhiều hơn 3 cách làm
C1)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
(1)(2) => đpcm
c2 ) Bunhia
C3) thế thui ..
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a b c 0. Chứng minh các bất đẳng thức :
1, left(a+b+cright)left(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right)ge9
2, frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}+frac{1}{d}gefrac{16}{a+b+c+d}
3, ( 1+a+b) (a+b+ab) ge9ab
4, left(sqrt{a}+sqrt{b}right)^8ge64ableft(a+bright)^2
5, 3a^3+7b^3ge9ab^2
6, left(sqrt{a}+sqrt{b}right)^2ge2sqrt{2left(a+bright)sqrt{ab}}
Đọc tiếp
cho a b c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức :
1, \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
2, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\)
3, ( 1+a+b) (a+b+ab) \(\ge9ab\)
4, \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8\ge64ab\left(a+b\right)^2\)
5, \(3a^3+7b^3\ge9ab^2\)
6, \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}\)
1) Áp dụng BĐT AM-GM: \(VT\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
2) Từ (1) suy ra \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{3^2}{a+b+c}+\frac{1^2}{d}\ge\frac{\left(3+1\right)^2}{a+b+c+d}=VP\)
Đẳng thức..
3) Ta có \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\) với $a,b,c>0.$
Cho $c=1$ ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh.
4) Đặt \(a=x^2,b=y^2,S=x+y,P=xy\left(S^2\ge4P\right)\) thì cần chứng minh $$(x+y)^8 \geqq 64x^2 y^2 (x^2+y^2)^2$$
Hay là \(S^8\ge64P^2\left(S^2-2P\right)^2\)
Tương đương với $$(-4 P + S^2)^2 ( 8 P S^2 + S^4-16 P^2 ) \geqq 0$$
Đây là điều hiển nhiên.
5) \(3a^3+\frac{7}{2}b^3+\frac{7}{2}b^3\ge3\sqrt[3]{3a^3.\left(\frac{7}{2}b^3\right)^2}=3\sqrt[3]{\frac{147}{4}}ab^2>9ab^2=VP\)
6) \(VT=\sqrt[4]{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^8}\ge\sqrt[4]{64ab\left(a+b\right)^2}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\sqrt{ab}}=VP\)
Có thế thôi mà nhỉ:v
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a2b+\(\frac{1}{b}\ge2a,\left(\forall a,b>0\right)\)
b) (a+b)(ab+1)≥4ab,(∀a,b>0)
c) (a+b)(a+2)(b+2)≥16ab, (∀a,b>0)
d) (1+\(\frac{a}{b}\))\(\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\ge8,\left(\forall a.b,c>0\right)\)
1.Giải phương trình sau: [x-2015] + [2x-2016] x-2017
2. Cho ba số thực a,b,c khác nhau thỏa mãn: a+frac{2020}{b}b+frac{2020}{c}c+frac{2020}{a}. Chứng minh rằng a^2+b^2+c^22020^3
3. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c9. Chứng minh: frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}ge1
4. Chứng minh bất đẳng thức sau vớ a,b,c là các số dương: left(a+b+cright)timesleft(frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}right)ge9
5. Cho a 0, b 0, c 0. Chứng minh rằng: frac{bc}{a}+frac{ca}{b}+frac{ab}{c}ge a+b+c
Đọc tiếp
1.Giải phương trình sau: [x-2015] + [2x-2016]= x-2017
2. Cho ba số thực a,b,c khác nhau thỏa mãn: \(a+\frac{2020}{b}=b+\frac{2020}{c}=c+\frac{2020}{a}\). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2=2020^3\)
3. Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge1\)
4. Chứng minh bất đẳng thức sau vớ a,b,c là các số dương: \(\left(a+b+c\right)\times\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
5. Cho a >0, b >0, c >0. Chứng minh rằng: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) frac{a^4}{b}+frac{b^4}{c}+frac{c^4}{a}ge3abc,left(forall a,b,c0right)
b) left(frac{a+b+c+d}{4}right)^4ge abcd,left(forall a,b,c,dge0right)
c) frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}gefrac{9}{a+b+c},left(forall a,b,c0right)
d) frac{a+b}{c}+frac{b+c}{a}+frac{c+a}{b}ge6,left(forall a,b,c0right)
Đọc tiếp
chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{c}+\frac{c^4}{a}\ge3abc,\left(\forall a,b,c>0\right)\)
b) \(\left(\frac{a+b+c+d}{4}\right)^4\ge abcd,\left(\forall a,b,c,d\ge0\right)\)
c) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c},\left(\forall a,b,c>0\right)\)
d) \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\ge6,\left(\forall a,b,c>0\right)\)
https://i.imgur.com/bx8s8Hy.jpg
https://i.imgur.com/AISWXxC.jpg